期望理論：風險條件下的決策分析

丹尼爾.卡尼曼
阿莫斯.特沃斯基

本篇論文對作為一種風險條件下制定決策的描述性模型的預期效用理論（expectedutility theory）提出批評，並提出稱為期望理論（prospect theory）的替代模型。在風險期望中的選擇顯示出幾個與效用理論的基本信條相矛盾的普遍效應。尤其，人們會低估與確定得到的結果相比只是具有或然性的結果。這種稱為確定性效應（certainty effect）的傾向是造成涉及確定贏利的選擇中風險厭惡（risk averse）與涉及確定損失的選擇中風險喜好（risk seeking）的部分原因。另外，人們一般會拋開所有考慮中的期望所共有的成分。這種稱為孤立效應（isolating effect）的傾向在同一個選擇以不同的方式提出時會導致不一致的偏好。我們會提出一種替代的理論，在該理論中，價值以損益（gains and losses）而不是最終的資產表示，而概率為決策權重所取代。通常，價值函數（value function）對於收益是下凹的，對於損失是上凸的，而且曲線一般在損失區間內比收益區間內更為陡峭。除了在小概率區間的情況，決策權重一般小於相應的概率。對小概率的高估可能是保險與賭博具有吸引力的部分原因。

1、導言（INTRODUCTION）

預期效用理論在風險條件下的決策分析中居於支配地位。它已被普遍接受為理性選擇的標準化模型，並被廣泛用作經濟行為的描述性模型。因而，人們認為所有理性的人都願意遵循該理論的原則，而實際上多數人多數時間都會遵循其理論原則。

本文描述了幾個類別的選擇問題，在這些問題中偏好系統地違背了預期效用理論的原則。根據這些觀察結果，我們認為預期效用理論並非如通常所解釋和應用的是一種充分的描述性模型，我們將提出一種風險條件下選擇的替代描述。

2、批評（CRITIQUE）

風險條件下的決策制定可以視為在兩種期望或賭博中進行選擇。一個期望就是一份產生概率為的結果的合約。其中，。為了簡化符號，我們省略了為零的結果，並用(x,p)表示產生概率為p的結果x與概率為1-p的結果0的期望(x,p;0,1-p)。產生確定性結果x的無風險期望表示為(x)。現在的討論局限於所謂的客觀概率或標準概率的期望。

預期效用理論在期望選擇中的應用是基於以下三個信念：

（1）數學期望：。

即，一個期望的總效用（用U表示）等於其所有結果的預期效用。

（2）資產綜合：當時，對於資產狀況w，是可以接受的。

即，如果由某人的資產和期望共同產生的效用大於該資產單獨產生的效用，那麼該期望就是可以接受的。因此，效用函數的定義域為資產的最終狀況（包括某人的資產狀況）而不是損益。

儘管效用函數的定義域並不局限於任何特定類別的結果，但是該理論的應用大多與貨幣形式表示的結果有關。而且，多數經濟應用引出了下面的附加假設：

（3）風險厭惡：u是下凹的（u''<0）。

如果一個人更喜歡確定的期望(x)而非任何期望值為x的風險期望，那麼此人就是風險厭惡的。在預期效用理論中，風險厭惡等於效用函數的凹度。風險厭惡的普遍性或許就是關於風險選擇的廣為人知的普遍性。它導致18世紀的早期的決策理論專家提出效用是貨幣的下凹函數，而且這一觀點仍保留在現代的論述中。

在下面的章節中，我們論證了幾個違背預期效應理論信念的現象。論證是基於學生和教工對於假設的選擇問題的回答。回答者被提供了下面說明的類型的問題：

下列問題中，你會選擇哪一種？

A：50%的機會贏得1000，B：確定贏得450。

50%的機會什麼都贏不到；

結果系指以色列貨幣。為了正確評價有關數額的意義，請注意一個家庭的月均淨收入大約為3000以色列鎊。回答者被要求設想他們面臨著問題中描述的選擇，並指出在這種情況下他們會制定的決策。回答是不記名的，答卷說明中規定這些問題沒有"正確"答案，而學生的目的是發現人們如何對風險期望進行選擇。問題以問卷形式提出，每個小冊子中不超過12個問題。每個問卷被設計成幾種形式，以便受試者按不同的順序進行答題。另外，每個問題採用兩種表達方式，其中，期望的左右位置是顛倒的。

本文中描述的問題是經過挑選的對一系列效應的說明。每種效應都已在不同結果和概率的幾個問題中被觀察到。某些問題還被提供給斯德哥爾摩大學與密歇根大學的學生和教工群體。結果在形式上與從以色列受試者那裏得到的結果基本上是相同的。

對假設選擇的信賴提出了關於方法的有效性與結果的普遍性的顯著問題。我們敏銳地發現了這些問題。然而，所有其他用來驗證效應理論的方法也遇到了嚴重的障礙。現實的選擇既可以在學術領域用經濟行為自然的或統計上的觀察結果進行檢驗，也可以在實驗室進行檢驗。學術領域的研究只能對定性預測提供粗略的檢驗，因為概率與效用在這種場合不能得到準確的度量。實驗室的實驗被設計用來從實際選擇中得到對效用和概率的精確度量，但是實驗研究通常會包含人為的小賭注賭博以及大量的非常相似問題的重複。實驗賭博的這些特徵使得對結果的解釋變得複雜，並限制了其普遍性。

在缺少別的方法的情況下，假設選擇的方法就成為最簡單的程式，通過該程式大量的假設問題能夠得到檢驗。該方法的應用依賴於人們通常知道他們在實際情況中的行為這一假設，而且依賴於受試者沒有特別的原因以隱瞞其真實偏好這進一步的假設。如果人們能夠理性地精確預測其選擇，在假設問題中對預期效用理論頻繁而系統的違背就為反對該理論提供了推理依據。

確定性、概率與可能性（Certainty,Probability,andPossibility）

在預期效用理論中，結果的效用以其概率來衡量。本章節描述了一系列人們的偏好系統地違背這一原則的選擇問題。我們首先指出，相對於具有或然性的結果，人們高估被認為是確定的結果。我們將這種現象稱為確定性效應。

有關預期效用理論最著名的反例是由法國經濟學家MauriceAllais在1953年提出的，這一反例揭示了確定性效應。Allais的例子已為許多作者在規範和描述兩個方面討論過。下面這一對選擇問題是Allais的例子的一個變例，它與原先的例子的區別在於它包含了中等而不是極為巨大的收益。每個問題的回答者的數目表示為N，每個選項的選擇百分比在括弧中給出。

問題1：做出選擇
A：2500，概率為0.33，B：2400，確定。
2400，概率為0.66，
0，概率為0.01；
N=72[18][82]*

問題2：做出選擇
C：2500，概率為0.33，D：2400，概率為0.34，
0，概率為0.67；0，概率為0.66。
N=72[83]*[17]

資料顯示，82%的受試者在問題一中選擇B，83%的受試者在問題二中選擇C。這些偏好中每一種偏好的顯著度都達到0.01，如星號所示。而且，對每種選擇形式的分析指出，在兩個問題中大多數回答者（61%）都做出了眾數選擇。偏好的方式在Allais原先描述的行為方式方面違背了預期效用理論。根據預期效用理論，當u(0)=0時，第一種偏好暗示

u(2400)>0.33u(2500)+0.66u(2400)或0.34u(2400)>0.33u(2500)

而第二種偏好暗示著相反的不等式。注意：問題二是由問題一通過在所考慮的兩個期望中消去0.66的機會贏得2400而得到的。顯然，當期望的特徵由確定收益變為或然收益時，比起原先的和減少後的期望都是不確定的時候，這種變化大大地降低了滿意度。

下面給出了對同一個現象的更為簡單的說明，涉及到只有兩個結果的賭博。這個例子也是基於Allais的例子。

問題3：
A：（4000，0.80），或B：（3000）。
N=95[20][80]*

問題4：
C：（4000，0.20），或D：（3000，0.25）。
N=95[65]*[35]

在這一對問題及本章節的所有其他幾對問題中，超過半數的回答者違背了預期效用理論。為了顯示問題三和問題四中偏好的眾數形式與該理論的不相一致，我們設u(0)=0，並回顧選項B暗示著u(3000)/u(4000)>4/5，而選項C則暗示著相反的不等式。注意：期望C=(4000,0.20)可表示為(A,0.25)，而期望D=(3000,0.25)可記為(B,0.25)。預期效用理論的代入法則認為，若B優於A，則任意概率的組合(B,p)必優於組合(A,p)。我們的受試者並沒有遵循這一法則。顯然，收益的概率從1.0降至0.25比從0.8降至0.2具有更大的影響。下面一對選擇問題說明了非貨幣形式結果的確定性效應。

問題5：
A：50%的機率贏得英格蘭、法國B：確定贏得英格蘭一周遊。
和義大利三周遊；
N=72[22][78]*

問題6：
C：5%的機率贏得英格蘭、法國D：10%的機率贏得英格蘭一周遊。
和義大利三周遊；
N=72[67]*[33]

確定性效應並非唯一一種違背代入法則的情況。該法則失效的另一種情況在下面問題中得到說明。

問題7：
A：（6000，0.45），B：（3000，0.90）
N=66[14][86]*

問題8：
C：（6000，0.001）D：（3000，0.002）
N=66[73]*[27]

注意：在問題七中收益的概率是很大的（0.90與0.45），多數人選擇了更有可能取得收益的期望。在問題八中，也有取得收益的可能性，儘管在兩個期望中收益的概率是微不足道的（0.002與0.001）。在這種有可能取得收益但收益的可能性又不大的情況下，多數人選擇了提供較大收益的期望。類似的結果已為MacCrimmon和Larsson所報導。

上面的問題說明了人們通常對待風險或機率的觀點，這些觀點無法為預期效用理論捕捉到。這些結果提出了以下違背代入法則的形式的經驗概括。若(y,pq)等於(x,p)，則(y,pqr)優於(x,pr),0<p,q,r<1。該性質沒有併入本論文第二部分提出的替代理論中。

反射效應（ReflectionEffect）

在上一節中我們討論了正期望（即，不涉及損失的期望）之間的偏好。把結果的符號顛倒過來使收益為損失所替代，這時會出現什麼情況？表一中左邊一欄列示了前面一節中討論的四個選擇問題，右邊一欄列示了結果的符號相反的選擇問題。我們用-x表示損失x，用>表示普遍的偏好（即，為大多數受試者所做的選擇）。

表1正期望與負期望之間的偏好

正期望負期望

問題3：(4000,0.80)<(3000)N=95[20][80]*問題4：(4000,0.20)>(3000,0.25)N=95[65]*[35]問題7：(3000,0.90)>(6000,0.45)N=66[86]*[14]問題8：(3000,0.002)<(6000,0.001)N=66[27][73]*問題3'：(-4000,0.80)>(-3000)N=95[92]*[8]問題4'：(-4000,0.20)<(-3000,0.25)N=95[42][58]*問題7'：(-3000,0.90)<(-6000,0.45)N=66[8][92]*問題8'：(-3000,0.002)>(-6000,0.001)N=66[70]*[30]

表1中的四個問題每一個問題的負期望之間的偏好是正期望之間的偏好的鏡象（mirrorimage）。因此，期望以0為中心的反射顛倒了偏好的順序。我們稱這種模式為反射效應（reflectioneffect）。

現在，我們來看上述資料的含意。首先，請注意反射效應暗示著正域的風險厭惡伴隨著負域的風險喜好。例如，在問題3'中，多數受試者願意優先接受0.80的概率損失4000的風險（儘管該項賭博的期望價值更低），而不是確定的損失3000。在負期望的選擇中風險喜好的出現最早為Markowitz注意到。在Williams披露的資料中，結果的轉化帶來從風險厭惡到風險喜好的戲劇性變化。例如，Williams的受試者並不在乎在（100，0.65；-100，0.35）和（0）之間選擇哪個，這表明了風險厭惡。他們也不在乎在（-200，0.80）和（-100）之間選擇哪個，這表明了風險喜好。近來，在Fishburn與Kochenberger所做的回顧中記錄了負期望的選擇中普遍存在的風險喜好。

其次，回顧一下，表1中正期望之間的偏好與預期效用理論是不相一致的。相應的負期望之間的偏好也以同樣的方式違背了預期原則。例如，問題3'與問題4'象問題3與問題4一樣，說明了確定得到的結果相對不確定的結果被高估。在正域中，確定性效應導致了對確定收益的風險厭惡偏好，而不是對僅具有或然性的更大收益的風險厭惡偏好。在負域中，同一效應導致了對僅具有或然性的損失的風險喜好偏好，而不是對確定的更小損失的風險喜好偏好。對確定性的高估這同一項心理學原理在收益域支持風險厭惡，在損失域卻支持風險喜好。

第三，反射效應消除了作為確定性效應解釋的對不確定性或易變性的厭惡。例如，來看一下對（3000）而不是（4000，0.80）及對（4000，0.20）而不是（3000，0.25）的普遍偏好。為了解決這種明顯的不一致性，我們可以假設人們偏好具有較大期望值與較小方差的期望。因為（3000）方差為零而（4000，0.80）有較大的方差，所以，儘管期望值較小但是前一個期望仍可能被選擇。然而，隨著期望的降低，在（3000，0.25）與（4000，0.20）之間的方差差異可能不足以補償期望值的差異。因為與（-4000，0.80）相比，（-3000）既有較大的期望值又有較小的方差，基於這種考慮應優先選擇確定的損失，這與資料是相反的。因此，我們的資料與確定性是普遍的期望這一觀念是不相一致的。而且，似乎確定性強化了對風險的厭惡及對收益的期望。

概率保險（ProbabilisticInsurance）

為防範重大和微小兩類損失而購買保險的普遍性已為多數人視為資金效用函數的凹度的有力證據。不然的話，人們為什麼願意花費大量的金錢用超過預期的精算價格購買保險單？然而，對不同形式保險的相對吸引力的評審並不支援資金效用函數處處為下凹的觀點。例如，人們通常偏好可扣除金額較小或為零、保險總額有限的保險方案，而不是類似的可扣除金額較大、最高保險總額較大的保險單。這與風險厭惡是相反的。另一種人們的反應與凹度假說不相一致的類型的保險問題，可被稱為概率保險（probabilisticinsurance）。為了說明這個概念，我們來看下面的問題，該問題曾被提供給斯坦福大學的95名學生進行測試。

問題9：假設你考慮為某些財產投保以防範損害（比如，火災或被盜）的可能性。在仔細考察過風險與保險費之後，你發現自己對購買保險與不為財產投保這兩種選擇沒有明確的偏好。

接著，保險公司新推出的稱作概率保險的方案引起了你的注意。在這種方案中，你支付正常保險費的一半。如果發生了損害，你有50%的機會支付另一半保險費並由保險公司為全部損失保險；你有50%的機會取回已支付的保險費並承受全部損失。例如，如果事故發生在一個月中某個單日，你支付正常保險費的另一半，而你的損失得到保險；但是，如果事故發生在一個月中的某個雙日，你支付的保險費就退還給你，而你的損失就不被保險。

回憶一下，全部保險總額的保險費只是讓你認識到這種保險幾乎不值那個價。

在這些情況下，你是否願意購買概率保險：

是否N=95[20][80]*

雖然問題9可能顯得不太真實，但是值得注意的是，概率保險代表了很多種形式的防範行為，在這些行為中人們支付一定的費用以降低不喜歡的事件發生的概率，而不是完全消除其發生的概率。安裝防盜鈴、更換舊輪胎以及決定戒煙均可被視為概率保險。

對問題9及對同一問題的其他變形的反應表明概率保險普遍缺乏吸引力。顯然，將損失的概率從p降至p/2比將損失的概率從p/2降至0的價值要小。

與這些資料形成對照的是，預期效用理論（u下凹）表明了概率保險優於正常的保險。即，如果在資產狀況為w時某人願意支付保險費y為概率為p的損失x投保，那麼，該人應該一定願意支付一筆更小的保險費ry將損失x的概率從p降至(1-r)p,0<r<1。形式上，如果某人認為(w-x,p;w,1-p)與(w-y)無甚區別，那麼，該人應該偏好概率保險(w-x,(1-r)p;w-y,rp;w-ry,1-p)而不是正常的保險(w-y)。

為了證明這一命題，我們指出

pu(w-x)+(1-p)u(w)=u(w-y)

表示

(1-r)pu(w-x)+rpu(w-y)+(1-p)u(w-ry)>u(w-y)。

不失一般性，我們可設u(w-x)=0及u(w)=1。由此，u(w-y)=1-p，而我們希望說明

rp(1-p)+(1-p)u(w-ry)>1-p或u(w-ry)>1-rp

當且僅當u下凹時成立。

這是效用理論的風險厭惡假設的一個相當令人困惑的結果，因為概率保險直觀上顯得比正常的保險（完全消除了風險因素）的風險更大。很顯然，對風險的直觀看法並沒有被假設的財富效用函數的凹度有效地捕捉到。

對概率保險的厭惡尤其令人困惑，因為所有的保險在某種意義上都是概率的。最熱衷於購買保險的人面對許多未投保的財務與其他風險仍是易受損害的。在概率保險與所謂意外保險之間似乎存在著明顯的差異。意外保險提供了為所有指定類型的風險投保的確定性。例如，將防範你家裏東西的所有類型的損失或傷害的概率保險與消除所有被盜損失風險但對其他風險（比如，火災）不投保的意外保險進行比較。我們猜測，當未加防範的損失的概率相等時，意外保險一般會比概率保險更具有吸引力。因此，兩個概率和結果相等的期望因其表述方式的不同可能具有不同的價值。在下一節中，我們將描述幾個對這一普遍現象的說明。

分離效應（TheIsolationEffect）

為了簡化在不同選擇物件之間的選擇，人們常常撇開選擇物件共有的成分，而將注意力集中於使之區別開來的成分。這種用於選擇問題的方法會產生不一致的偏好，因為將一對期望分解為普遍而各具特點的成分可能有不只一種方式，不同的分解方式有時會導致不同的偏好。我們將這種現象稱為分離效應（isolationeffect）。

問題10：考慮以下的雙階段遊戲。在第一階段，有0.75的概率結束遊戲但得不到任何收益，有0.25的概率進入第二階段。如果你進入第二階段，你便有以下選擇

（4000，0.80）與（3000）

你必須在遊戲開始前做出選擇，即，在第一階段的結果出來之前做出選擇。

注意：在這個遊戲中，你可以在0.25×0.80=0.20的機會贏得4000與0.25×1.0=0.25的機會贏得3000之間做出選擇。因此，根據最終的結果和概率你面臨著（4000，0.20）與（3000，0.25）之間的選擇，正如前面的問題4情況。然而，這兩個問題中佔有優勢的偏好是不相同的。在141位對問題10做答的受試者中，有78%的人選擇了後一個期望，這與問題4的眾數偏好相反。顯然，人們忽視了遊戲的第一階段（其結果為兩個期望共用），而象前面的問題3一樣，將問題10作為在（3000）與（4000，0.80）之間的選擇來考慮。

問題4標準的與連續的表述分別在圖1和圖2中被描述為決策樹（decisiontree）的形式。按照通常的習慣，正方形表示決策點（decisionnodes），圓圈表示機會點（chancenodes）。這兩種描述方式的根本不同在於決策點的位置。在標準形式中（圖1），決策者面臨兩種風險期望中的選擇，在連續形式（圖2）中，決策者面臨一種風險期望與一種無風險期望中的選擇。這是通過在期望之間引入依賴性而不改變概率和結果來實現的。尤其，在連續表述形式中，事件"沒有贏得3000"被包括在事件"沒有贏得4000"中。因此，贏得3000的結果在連續表述中就具有確定性優勢，而在標準表述中該結果就沒有這一優勢。

圖1問題4的決策樹描述（標準形式）

圖2問題10的決策樹描述（連續形式）

事件之間的依賴性導致的期望的顛倒是尤其值得注意的，因為這違背了期望之間的選擇僅由最終狀態的概率所決定這一決策理論分析的基本假設。

以上述形式中的一種而不是另一種十分自然地描述的決策問題是很容易考慮的。例如，在兩個不同的風險事件之間的選擇可能被視認為是以標準形式進行的。另一方面，下面的問題極有可能以連續的形式描述。你可能會投資于某項冒險活動，在該項冒險活動失敗時有一定的概率你會失去自己的本金，並且你可以在成功後在約定的固定回報與按一定的百分比取得收益之間做出選擇。分離效應表明，相對於具有相同概率和相同結果的有風險的冒險活動，固定回報有條件的確定性增強了這一選擇的吸引力。

前面的問題說明了對概率的不同描述會如何改變偏好。現在，我們要說明改變對結果的描述會如何改變選擇。

來看下面的問題，這些問題被提供給兩組不同的受試者。

問題11：除了你所擁有的，你又得到1000。現在，你被要求做出選擇

A：（1000，0.50），B：（500）。
N=70[16][84]*
問題12：除了你所擁有的，你又得到2000。現在，你被要求做出選擇

C：（-1000，0.50）D：（-500）
N=68[69]*[31]

大多數受試者在第一個問題中選擇了B，在第二個問題中選擇了C。這些偏好符合我們在表1中觀察到的反射效應，該效應顯示了對正期望的風險厭惡與對負期望的風險喜好。不過，注意在根據最終狀態考慮問題時，這兩個選擇問題是相同的。尤其

A=（2000，0.50；1000，0.50）=C，B=（1500）=D。

事實上，問題12是由問題11在初始獎金中增加1000並在所有結果中減去1000而得到的。顯然，受試者沒有將獎金與期望合併起來。獎金沒有加入期望的比較中，因為對於每個問題的兩個選項獎金是共有的。

問題11與問題12中觀察到的結果的模式顯然與效用理論是不相一致的。例如，在該理論中，同樣的效用被確定為100000美元的財富，而不管它是從原先的95000美元還是105000美元的財富得到的。因而，在100000美元總財富與對等機會得到95000美元或105000美元之間的選擇，應該與你目前擁有的財富是少於還是多於這兩個數額無關的。基於風險厭惡的附加假設，該理論要求擁有100000美元的確定性應該總是優於有風險的選項。然而，對問題12以及先前幾個問題的反應顯示，如果個人擁有了較小金額而不是較大金額的財富，這一模式會起作用。

對問題11與問題12中兩個選項共有的獎金的明顯忽視提示我們，價值或效用的載體是財富的變化而不是包括目前財富在內的資產的最終狀況。這一結論是一種風險選擇替代理論的基石，下一節將討論這一理論。

3、理論（THEORY）

前面的討論回顧了幾個似乎使作為一種描述性模型的預期效用理論失去效力的經驗效應。本文將在餘下的章節中提出一種個人在風險條件下進行決策的替代描述，這種替代描述稱為期望理論。該理論是針對具有貨幣形式結果與給定概率的簡單期望發展而來的，但是可以推廣至更複雜的選擇問題。期望理論將選擇過程分為兩個階段：前期的編輯階段與隨後的評估階段。編輯階段包括對所給期望的初步分析，通常會產生這些期望較為簡單的描述。在第二階段，經過編輯的期望得到評估，價值最大的期望被選中。下面，我們將對編輯階段進行概括，並提出一種正式的評估階段模型。

編輯階段的作用是對意見進行組織和再表述，以簡化後面的評估與選擇。編輯包括運用幾種運算方式來變換與所給期望有關的結果與概率。編輯階段主要的運算描述如下。

資料轉換（Coding）。上一節討論的論據表明，人們通常將結果理解為損益而不是財富或福利的最終狀態。當然，損益相對於某種中性的參考點進行定義。參考點通常與目前的資產狀況相符，在這種情況下損益與實際收到或支付的數額相一致。然而，參考點的定位以及隨後將結果轉換為收益或損失，可能會受到所給期望的表述方式的影響，也可能受到決策者的預期的影響。

合併（Combination）。有時，期望可以通過合併與同樣的結果有關的概率而得到簡化。例如，期望（200，0.25；200，0.25）可簡化為（200，0.50），並以這種形式被評估。

分離（Segregation）。某些期望包含了一個在編輯階段中從有風險成分中分離出來的無風險成分。例如，期望（300，0.80；200，0.20）自然地分解為確定收益200與有風險期望（100，0.80）。類似地，很容易看出期望（-400，0.40；-100，0.60）包含了確定損失100與期望（-300，0.40）。

上面的運算單獨應用於單個期望。以下的運算應用於由兩個或更多期望組成的系列。

約減（Cancellation）。前面描述的分離效應的實質就是捨棄所給期望所共有的成分。因此，我們的回答者顯然忽視了問題10提出的連續遊戲的第一階段，因為該階段是由兩個選項共有的，所以，他們只評估了關於第二階段結果的期望（見圖2）。類似地，他們也忽視了問題11與問題12中增加到期望上的共有的獎金。另一種類型的約減涉及到對共有要素的捨棄（即，結果-概率成對組合）。例如，在（200，0.20；100，0.50；-50，0.30）與（200，0.20；150，0.50；-100，0.30）之間的選擇，可以通過約減而簡化為在（100，0.50；-50，0.30）與（150，0.50；-100，0.30）之間的選擇。

另外兩種應該提到的運算是簡化與優勢檢測。第一種是指通過概率或結果的四捨五入而簡化期望。例如，期望（101，0.49）可能被再轉換為對等機率贏得100（譯注：即（100，0.50））。一種特別重要的簡化形式涉及到對極端不可能結果的捨棄。第二種運算涉及到流覽所給期望以檢測出占絕對優勢的備選方案，這些方案不經進一步評估即被否決。

因為編輯運算使決策工作變得容易，所以，我們假設它們總是能得到應用。然而，某些編輯運算或者允許或阻止了其他運算的運用。例如，如果兩個期望的第二個因素被簡化為（100，0.50），那麼，（500，0.20；101，0.49）會顯得比（500，0.15；99，0.51）佔優勢。因此，最終編輯過的期望可能取決於編輯運算的順序，順序可能會隨著所給的一組資料的結構而變化，也可能隨著資料編排的格式而變化。對這個問題詳細的研究超出了目前討論的範圍。在本文中，我們討論的選擇問題可以做以下合理的假設：期望的初始表述方式無須做進一步的編輯，或者經過編輯的期望可以被清晰無誤地確定。

許多偏好的異常來自于期望的編輯。例如，與分離效應有關的不一致性是由對共有成分的約減造成的。某些選擇的不切實際可以用消除了期望之間的小差異的簡化來解釋。更普遍的情況是，對期望的偏好次序不一定是一成不變的，因為同一個已給出的期望可以根據其出現的上下文采用不同的編輯方式。

在編輯階段之後，假定決策者對每個編輯過的期望進行評估並挑選出價值最高的期望。一個編輯過的期望的總價值（表示為V）用兩種尺度來表示，即π和v。

第一種尺度π使每個概率p對應著一個決策權重π(p)，π(p)表示p對期望的總價值的影響。然而，π並非是一種對概率的度量，稍後我們將看到π(p)+π(1-p)一般小於整體1。第二種尺度v為每個結果x確定一個數字v(x)，v(x)表示該結果的主觀價值。回憶一下，結果相對於某個參考點進行定義，參考點就作為價值尺度的零點。由此，v度量的是價值相對參考點的偏差，即損益。

目前的表述形式與(x,p;y,q)形式的簡單期望有關，該形式至多有兩個非0結果。在這樣的期望中，你得到概率為p的x、概率為p的y及概率為1-p-q的結果0，式中p+q?1。如果其結果全部為正，即，如果x,y>0且p+q=1，則所給的期望嚴格為正；如果其結果全部為負，則期望嚴格為負。如果一個期望既非嚴格為正又非嚴格為負，則該期望就是正則的。

本理論的基本方程描述了π和v相結合以決定正則期望總價值的形式。

若(x,p;y,q)為正則期望（即，或p+q<1，或x?0?y，或x?0?y），則

（1）V(x,p;y,q)=π(p)v(x)+π(q)v(y)

式中，v(0)=0，π(0)=0，且π(1)=1。如同在預期效應理論中，V根據期望進行定義，而v根據結果進行定義。這兩種尺度適用於確定期望，這裏有V(X,1.0)=V(x)=v(x)。

方程（1）通過放寬預期原則而概括出預期效用理論。對這一運算式的原理分析在附錄中有概略的?述，該分析描述了保證存在唯一一個π與一個比例尺度v滿足方程（1）的條件。

對嚴格為正與嚴格為負的期望的評估遵循另一條法則。在編輯階段此類期望被分成兩個部分：（?）無風險部分，即，確定得到的最小收益或確定支付的最小損失；（?）有風險部分，即，實際上無把握的附加收益或損失。對此類期望的評估在下一個方程中給以描述。

若p+q=1且或x>y>0或x<y<0，則

（2）V(x,p;y,q)=v(y)+π(p)[v(x)-v(y)]

即，嚴格為正或嚴格為負的期望的價值，等於無風險部分的價值加上結果的價值差與絕對值較大的結果的相關權重的乘積。例如，V(400,0.25;100,0.75)=v(100)+π(0.25)[v(400)-v(100)]。方程（2）的基本特徵是將一個決策權重應用於價值差v(x)-v(y)（表示期望的無風險部分），而不是應用於v(y)（表示有風險的部分）。注意：方程（2）的右邊等於π(p)v(x)+[1-π(p)]v(y)。由此，如果π(p)+π(1-p)=1，方程（2）就簡化為方程（1）。如我們稍後將看到的，該條件並非總是被滿足的。

評估模型的許多因素已經在以前對預期效用理論進行修改的嘗試中出現。Markowitz是首位提出應根據損益而不是根據最終的資產狀況對效用進行定義的人，這一假說無疑已在大多數對效用的實驗度量中被接受。Markowitz還注意到風險喜好出現在正期望及負期望的偏好中，並提出一種在正域和負域中均存在上凸區間和下凹區間的效用函數。然而，Markowitz的論述保留了預期原則；因此，他的理論無法解釋許多違背該原則的現象；參見表1的例子。

概率為更具普遍性的權重所替代是由Edwards提出的，該模型在幾項經驗研究中得到檢驗。類似的模型是由Fellner提出的，他引入決策權重的概念用以解釋對模糊性的厭惡。vanDam也提出了類似的模型，他嘗試對決策權重進行計量。至於其他的對預期效用理論的批評和替代模型，可以參看Allais、Coombs、Fishburn以及Hansson的論著。

期望理論的方程式保留了通常的二元一次方程的形式，該形式構成了預期效用理論的基礎。然而，為了適應本文第一部分中描述的幾種效應，我們不得不假設價值依賴於變化而非最終狀態，決策權重與所給的概率無關。這些對預期效用理論的背離必然會導致不為規範理論接受的結果，比如不一致性、不切實際以及對優勢的違背。正常情況下，在決策者認識到自己的偏好不一致、不切實際或者不被接納時，決策者會自己更正這些異常。然而，在很多情況下，決策者沒有機會發現自己的偏好可能違背了自己希望遵守的決策準則。在這些情況下，期望理論指出的異常就很可能出現。

價值函數（TheValueFunction）

本理論的基本特徵在於價值的載體是財富或福利的變化而不是其最終狀態。這項假設與感覺及判斷的基本原理是相一致的。我們的知覺器官適宜於評估變化或差異而不適宜於評估絕對值。當我們對亮度、音量或溫度此類屬性做出反應時，過去與現今的經驗情況限定了某種適應標準（或參考點），而外界刺激就針對該參考點被感覺到。因此，對給定溫度物體的觸覺感受可能為熱，也可能為冷，這取決於人對溫度的適應。同一原理也可用於非感覺類型的屬性，比如健康、威望以及財富。例如，同樣級別的財富對一個人可能意味著赤貧，而對另一個人可能意味著豪富，這取決於他們目前的資產。

對變化作為價值載體的強調不應被理解為某一特定變化的價值獨立於初始狀態。嚴格地說，基於兩個論據價值應被當作一個函數：作為參考點的資產狀況，以及距參考點的變化數量（正的或負的）。比如說，某個人對待金錢的態度可以用一本書來描述，其中，書的每一頁表示某一特定資產狀況的變化的價值函數。顯然，按照不同的頁碼描述的價值函數是不相同的；隨著資產的增加它們可能會變得更接近線性。然而，期望的偏好次序並不會因資產狀況小的甚至中等程度的變化而發生重大改變。例如，對於大多數人來說，期望（1000，0.50）的確定等價物位於300至400之間資產狀況的寬廣區間內。因而，基於一個論據將價值表達為函數形式，一般會產生令人滿意的近似結果。

感覺與知覺在許多方面都具有心理反應是物理變化量的下凹函數這一性質。例如，分辨出室內溫度發生了3?變化或6?變化，比分辨出室內溫度發生了13?變化或16?變化更為容易。我們建議將這一原理尤其應應用於對貨幣形式的變化的評估。因此，收益100與收益200之間的價值差別比收益1100與收益1200之間的價值差別顯得更大。類似地，損失100與損失200之間的差別比損失1100與損失1200之間的差別顯得更大，除非人們無法承受較大的損失。因此，我們假設財富變化的價值函數通常在參考點上方下凹（對於x>0，v??(x)<0），通常在參考點下方上凸（對於x<0，v??(x)>0）。即，收益與損失的邊際價值一般均隨著收益或損失的量的增加而減少。Galanter與Pliner已經報告了對這項假設的支持，他們測量了所觀察到的貨幣形式非貨幣形式的損益數量。

上述關於價值函數形狀的假設是基於人們在無風險條件下對損益的反應。我們認為得自於風險選擇的價值函數也具有這一性質，如下列問題所示。

問題13：
（6000，0.25），或（4000，0.25；2000，0.25）。
N=68[18][82]*

問題13'：
（-6000，0.25）或（-4000，0.25；-2000，0.25）。
N=64[70]*[30]

對上述問題中的眾數偏好應用方程（1），得到

π(0.25)v(6000)<π(0.25)[v(4000)+v(2000)]且
π(0.25)v(-6000)>π(0.25)[v(-4000)+v(-2000)]。

因此，v(6000)<v(4000)+v(2000)且v(-6000)>v(-4000)+v(-2000)。這些偏好與價值函數對收益下凹對損失上凸的假設一致。

任何對資金效用函數的討論都必須考慮特殊情況對偏好的影響。例如，某個需要60000美元購買一所房子的人，在接近關鍵價值時其效用函數可能會出現異常陡峭的上升。類似地，一個人對損失的厭惡在接近會迫使其出售自己的房子並搬到不太喜歡的地區時可能會急劇上升。因此，某人所得到的價值（效用）函數並非總是反映著對金錢的"單純的"態度，因為該函數可能會受到與特定數量有關的特殊結果的影響。這樣的煩擾會很容易在收益的價值函數中產生上凸域，在損失的價值函數中產生下凹域。後一個案例可能更為常見，因為較大的損失通常會造成生活方式的改變。

對福利變化的態度的一個顯著特徵在於損失比收益顯得更為突出。一個人在損失一筆錢時所體驗的惱怒要超過他得到同樣數量的錢時所體驗的快樂。事實上，大多數人發現（x,0.50;-x,0.50）形式的對稱下注（譯注：即收益與損失相等）明顯缺乏吸引力。而且，人們對對稱的公平下注的厭惡一般會隨著賭注的數目而增加。即，若x>y?0，則(y,0.50;-y,0.50)優於(x,0.50;-x,0.50)。根據方程（1），有

v(y)+v(-y)>v(x)+v(-x)及v(-y)-v(-x)>v(x)-v(y)。

令y=0得v(x)<-v(-x)，並使y漸近於x得到v?(x)<v?(-x)，假如v?存在，對v求導。因此，損失的價值函數比收益的價值函數更為陡峭。

概括一下，我們提出了價值函數：（?）根據對參考點的偏離進行定義；（?）通常對收益下凹對損失上凸；（?）對損失比收益更陡峭。滿足這些特徵的價值函數如圖3所示。注意：我們提出的S形價值函數在參考點處最為陡峭，這一點明顯與Markowitz假設的效用函數形成對比。Markowitz的效用函數在該區域相對比較平緩。

儘管目前的理論可以用來由期望之間的偏好得出價值函數，但由於決策權重的引入，實際的度量要比效用理論中複雜得多。例如，甚至對於線性的價值函數，決策權重也會產生風險厭惡及風險喜好。不過，令人感興趣的是，價值函數的主要特性已在vonNeumann-Morgenstern對財富變化的效用函數所做的詳細分析中被觀察到。該函數是對來自於不同商業領域的30位決策者所做的5項獨立的研究中得到的。多數收益的效用函數是下凹的，多數損失的效用函數是上凸的，僅有3個人既對收益也對損失表現出風險厭惡。除了一個例外情況，損失的效用函數比收益的效用函數陡峭得多。

權重函數（TheWeightingFunction）

在期望理論中，每個結果的值都與一個決策權重相乘。決策權重由期望之間的選擇導出，幾乎相當於在Ramsey-Savage的方法中主觀概率由偏好導出。然而，決策權重並不是概率；它們不遵循概率原理也不應被解釋為對程度或信念的測量。

來看一種賭博，你可以從中贏得1000或者什麼都贏不到，這取決於一枚均勻的硬幣的拋擲結果。對於任何具有理性的人，在這種情況下贏的概率為0.50。這一點可以通過種種方法加以證實，例如，通過指出受試者對下注於正面或下注於反面的選擇不感興趣，或者通過受試者的口頭報告，他認為這兩個事件具有同樣的可能性。然而，正如下面將要指出的，得自於選擇的決策權重π(0.50)可能會小於0.50。決策權重測量的是事件對期望滿意度的影響，而不僅僅是這些事件的被感知到的可能性。如果預期原則有效（而不是其他的原則有效），那麼，這兩種尺度就是一致的（即，π(p)=p）。

本文所討論的選擇問題被表述為明確的數字概率形式，我們的分析假設回答者採用了給定的p值。而且，既然事件僅僅通過其給定的概率進行驗證，那麼，在這種條件下就有可能將決策權重表示為給定概率的函數。然而，一般地，附屬於某個事件的決策權重可能會受到其他因素（比如，模糊性）的影響。

現在，我們開始討論權重函數π的顯著特性，這些特性將決策權重與給定的概率聯繫起來。自然，π是p的增函數，有π(0)=0與π(1)=1。即，由一個不可能事件引發的結果可被忽視，尺度被標準化使得π(p)成為概率p有關的權重與確定結果有關的權重的比例。

我們首先討論小概率權重函數的一些特性。問題8與問題8?中的偏好提示我們，對於小值p，π是p的弱可加函數，即，對於0<r<1有π(rp)>rπ(p)。回憶一下，在問題8中（6000，0.001）優於（3000，0.002）。因此

根據v的下凹性，有π(0.001)/π(0.002)>v(3000)/v(6000)>1/2。

問題8?中的反射偏好得出了同樣的結論。然而，問題7與問題7?中的偏好模式提示我們，弱可加性不一定對大值p有效。

而且，我們提出很小的概率通常會被權重過度（overweighted），即，對於小p有π(p)>p。來看下面的選擇問題。

問題14：
（5000，0.001），或（5）。
N=72[72]*[24]

問題14?：
（-5000，0.001），或（-5）。
N=72[17][83]*

注意：在問題14中，人們偏好的是彩票功效而不是其預期價值。另一方面，在問題14?中，人們偏好小損失（可以被視為支付保險費）而不是小概率的大損失。類似的觀察結果已為Markowitz所披露。本理論認為，問題14中對彩票的偏好表示π(0.001)v(5000)>v(5)，由此π(0.001)>v(5)/v(5000)>0.001，假設收益的價值函數下凹。問題14?中願意支付保險費意味著同樣的結論，假設損失的價值函數上凸。

將權重過度（系指決策權重的一個特性）與高估（通常出現在對罕見事件的概率評估中）區別開來是很重要的。注意：高估的結果不會出現在目前的情況中，這裏的受試者被假定採用了給定的p值。在很多現實情況中，高估與權重過度可能都會導致加大罕見事件的影響。

雖然對於小概率有π(p)>p，但有證據提出，對於所有的0<p<1，有π(p)+π(1-p)<1。我們稱這種特性為次確定性（subcertainty）。在Allais例子的任何一個版本中（例子參見問題1與問題2）很容易看出典型的偏好表示p相關值的次確定性的。對問題1與問題2中的優勢偏好應用方程（1）分別得出，

v(2400)>π(0.66)v(2400)+π(0.33)v(2500)，即
[1-π(0.66)]v(2400)>π(0.33)v(2500)及
π(0.33)v(2500)>π(0.34)v(2500)；由此
1-π(0.66)>π(0.34)，或π(0.66)+π(0.34)<1。

對Allais的原始例子應用同樣的分析，得π(0.89)+π(0.11)<1。MacCrimmon與Larsson披露的資料意味著p的附加值的次確定性。

在區間（0，1）中π的斜率可以被看作偏好對概率變化的敏感度的測量。次確定性要求π須對p回歸，即，偏好對概率變化的敏感性一般不如預期原則所要求的那樣敏感。因此，次確定性捕捉到人們對不確定事件的態度的一個基本因素，也就是，與補充事件有關的權重數量一般小於與確定事件有關的權重數量。

回憶一下，本文前面討論的對替代原則的違背遵循以下法則：若(x,p)等於(y,pq)則(x,pr)不優於(y,pqr)，0<p,q,r?1。由方程（1），

π(p)v(x)=π(pq)v(y)表示π(pr)v(x)?π(pqr)v(y)；由此，π(pq)/π(p)?π(pqr)/π(pr)。

因此，對於固定比例的概率，概率小時比概率大時，對應的決策權重的比例更接近於整體1。π的這一特性被稱為次比例性（subproportionality），這一特性對π的形狀施加了相當大的影響：當且僅當logπ是logp的上凸函數時該特性有效。

值得注意的是，次比例性以及對小概率的權重過度表示π在整個區間上是弱可加的。形式上，可以看出，若π(p)>p且次比例性有效，則π(rp)>rπ(p)，0<r<1，假如π在（0，1）上單調連續。

圖4描述了一個假設的權重函數，該函數滿足對小值p的權重過度與弱可加性，以及次確定性與次比例性等條件。這些特性使得π必需在開區間上相對平緩而在靠近端點處（其中，π(0)=0與π(1)=1）急劇變化。π在端點處的急劇下降或明顯的不連續，與能夠附屬於某個事件的決策權重無論有多小（如果給以權重的話）都存在極限（注：即可對其求極限）這一觀點是相一致的。類似的量化懷疑可能會對任何小於整體1的決策權重強加一個上限。這些量化效應可能反映了確定性與不確定性之間明確的區別。另一方面，在編輯階段對期望的簡化會導致個人捨棄概率極小的事件，並將概率極大的事件當作確定性來對待。由於人們局限於自己對極端概率的理解能力與評估能力，因此，非常不可能的事件要麼被忽視要麼被權重過度，大概率與確定性之間的差異要麼被忽視要麼被誇大。因而，在接近端點處π的表現是不正常的。

圖4一種假設的權重函數

下面的例子（由Zeckhauser提出）說明了假設的π的非線性（nonlinearity）。假定你被迫玩俄羅斯輪盤賭，但是你被給以機會花錢從裝了子彈的手槍中卸掉一顆子彈。將子彈的數目從4減至3與將子彈的數目從1減至0，你是否會支付同樣的錢？多數人感到，與將死亡的概率從4/6降低至3/6相比，他們會願意支付多得多的錢將死亡的概率從1/6降低至0。在後一種情況下，經濟方面的考慮會導致人們支付更多的金錢，這種情況下，金錢的價值大概由於無法再活著享用金錢這個很大的概率而降低。

對π(p)≠p這一假設一個明顯的反對意見涉及到(x,p;x,q)形式與(x,p?;x,q?)形式的期望的比較，其中，p+q=p?+q?<1。既然每個人都確定對這兩個期望之間的區別不感興趣，那麼可以證明，這一觀察結果要求有π(p)+π(q)=π(p?)+π(q?)，這裏依次表示π為恒等函數。這一論點對於本理論是站不住腳的，因為本理論假設相同結果的概率在期望的編輯中進行合併。對π的非線性的一個更為嚴肅的反對意見涉及到對優勢可能的違背。設x>y>0,p>p?，且p+q=p?+q?<1；由此，(x,p;y,q)支配(x,p?;y,q?)。如果偏好遵循優勢，則

π(p)v(x)+π(q)v(y)>π(p?)v(x)+π(q?)v(y)，
或
。

由此，隨著y漸進於x，有π(p)-π(p?)漸進於π(q?)-π(q)。既然p-p?=q?-q，π一定基本上是線性的，否則優勢必定被違背。

在本理論中，假設在期望評估之前佔優勢的選擇方案已被查出並消除，因此直接的優勢違背得到阻止。然而，本理論允許間接的優勢違背，例如，三個一組的期望使A優於B，B優於C，C支配A。參見Raiffa的一個例子。

最後，應注意目前的論述是關於最簡單的決策任務的，即，一個人在兩個可得到的期望中進行選擇。我們沒有詳細論述更複雜的生產任務（比如，競拍），即決策者形成一個在價值上等於某個給定期望的選擇方案。這種情況下兩個選項之間的不對稱可能會產生系統偏差。事實上，Lichtenstein與Slovic已構造一對期望A與B，使得人們一般偏好A勝於B，但為B出價高過為A出價。這一現象已在幾項對假設及實際的賭博的研究中得到證實，參見Grether與Plott的例子。因此，一般無法假設期望的偏好次序能夠通過競拍過程被發現。

由於期望理論已作為一種選擇模型被提出，所以，競拍與選擇的不一致性意味著價值與決策權重的測量應基於指定期望之間的選擇，而不是基於競拍或其他生產任務。這種限制使得對v和π的估測更為困難，因為生產任務更加便於衡量而不是成對比較。

4、討論（DISCUSSION）

在最後一節，我們將說明期望理論如何解釋觀察到風險態度、討論因參考點的移動而引起的選擇問題的替代表述，並概述本論述的幾個擴展。